太極拳無極会
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勉強日記


(x'Ax)^2<=(x'AA'x)(x'x)

転載禁止 コメントなし 2015-01-17 19:34:21

Let \( A \) be any real square matrix (not necessarily symmetric).  Prove that: $$ (x'A x)^2 \leq (x'A A'x)(x'x) $$

The key point in proving this inequality is to recognize that \( x'A A'x \) can be expressed as vector norm of \( A'x \).

Proof:

If \( x=0 \), then the inequality is trival.

Suppose \( x \neq 0 \).

\( \frac{x'A x}{x'x}
= \frac{(A'x)'x}{\| x \|^2}
= (A'\frac{x}{\| x \|})'\frac{x}{\| x \|}
\)

Because \( \frac{x}{\| x \|} \) is a unit vector, \( A'\frac{x}{\| x \|} \) can be considered as scale and rotation of \( \frac{x}{\| x \|} \) by \( A' \).  Thus, the resulting vector norm of \( A'\frac{x}{\| x \|} \) is \( \alpha \) for some \( \alpha > 0 \).  And \( (A'\frac{x}{\| x \|})'\frac{x}{\| x \|}=\alpha \, cos(\beta) \) for some \( -\pi \leq \beta \leq \pi \), which is the angle between before and after premulitplying \( A' \).

Now:

\( ( \frac{x'A x}{x'x} )^2 \)

\(= ( (A'\frac{x}{\| x \|})'\frac{x}{\| x \|} )^2 \)

\( =\alpha^2 \, cos(\beta)^2 \)

\( \leq \alpha^2 \)

\(= (A'\frac{x}{\| x \|})'A'\frac{x}{\| x \|} \)

\(= \frac{(A'x)'A'x}{\| x \|^2} \)

\(= \frac{x'A A'x}{x'x} \)

Finally, multiplying both sides by \( (x'x)^2 \) completes the proof.

 
 

Ab=0 iff A^+b=0, when A is symmetric.

コメントなし 2014-11-19 08:59:30

Let \( A' \) be transpose of \( A \), \( A^{+} \) be MP-inverse of \( A \).

Prove that if \( A=A' \), then \(A b=0 \) if and only if \( A^+b=0 \).

Proof:

\( A b=0 \) implies that \( b=(I-A^+A)q \) for some \( q \).  Then,

\(
A^+ b \\
=A^+(I-A^+A)q \\
=A^+(I-A'^+A')q \\
=A^+(I-(AA^+)')q \\
=A^+(I-AA^+)q \\
=A^+q-A^+AA^+q \\
=A^+q-A^+q \\
=0
\)

Because \( A^{++}=A \), the proof is completed.


 
 

連続冪等行列関数の階数は定数である

コメントなし 2014-11-15 20:32:49

練習問題を遣っていました。時に問題の難しさはただこの問題にたいして肝心なポイントを見えたかどうかだけで決まります。この肝心のポイントを見えたら問題は問題で無くなります。

昨日の夜に時間をかけても分からなかった問題ですが、今日はネットを検索し、解を直接に貰えなかったが、啓発を受けました。これで簡単に解けました。

問題は以下のようなものです。

冪等行列関数 F は連続です。Fの階数は定数であると証明せよ。

解は以下です。

Fは冪等であるため、\( tr(F)=rank(F) \)。Fは連続ですから、\( tr(F) \)も連続です。しかし、\( rank(F) \)の変化は常に1の倍数で飛びます。両方合わせば \( tr(F)=rank(F) \) は定数でなければならないことが分かります。

以上。簡単でした。

 
 
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